EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Na mecânica quântica, o caso de uma partícula em um anel unidimensional é semelhante à partícula em uma caixa^[1][2]. A equação de Schrödinger para uma partícula livre que é restrita a um anel^[3] (tecnicamente, cujo espaço de configuração é o círculo ${\displaystyle S^{1}}$) é

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Função de onda

Usando coordenadas polares no anel unidimensional de raio R, a função de onda depende somente da coordenada angular, e assim

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}}$

/  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

exigindo que a função de onda seja periódica em ${\displaystyle \ \theta }$ com um período ${\displaystyle 2\pi }$ (da demanda de que as funções de onda sejam funções de valor único no círculo), e que elas sejam normalizadas leva às condições

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,Rd\theta =1\ }$,

/

/  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

e

${\displaystyle \ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )}$ /

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Nestas condições, a solução da equação de Schrödinger é dada por

${\displaystyle \psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi R}}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }}$ / 

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Um problema importante na mecânica quântica é o de uma partícula num potencial esfericamente simétrico, isto é, um potencial que depende apenas da distância entre a partícula e um ponto central definido. Em particular, se a partícula em questão é um elétron e o potencial é derivado da lei de Coulomb, então o problema pode ser usado para descrever um átomo de hidrogênio (um elétron ou íon).

No caso geral, a dinâmica de uma partícula em um potencial esfericamente simétrico é governada por um hamiltoniano da seguinte forma:

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V(r)}$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde ${\displaystyle m_{0}}$ é a massa da partícula, ${\displaystyle {\hat {p}}}$ é o operador momentum, e o potencial ${\displaystyle V(r)}$ depende apenas de ${\displaystyle r}$, o módulo do vetor raio; r. As funções e energias da onda quântica (autovalores) são encontradas resolvendo a equação de Schrödinger com este hamiltoniano. Devido à simetria esférica do sistema, é natural usar coordenadas esféricas ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \phi }$. Quando isso é feito, a equação de Schrödinger independente do tempo para o sistema é separável, permitindo que os problemas angulares sejam tratados facilmente, e deixando uma equação diferencial ordinária em ${\displaystyle r}$ para determinar as energias para o potencial particular ${\displaystyle V(r)}$ em discussão.

Antes de se discutir sobre a partícula na caixa, é importante saber que para se resolver este problema, os conceitos e as aplicações dos postulados da mecânica quântica.

1º Postulado: a função de onda ${\displaystyle \Longrightarrow }$ A função de onda contém toda as informações para determinar o estado de um sistema. Por isso, ela tem que ser unívoca, contínua e de derivadas contínuas.

2º Postulado: operadores ${\displaystyle \Longrightarrow }$ Para toda e qualquer observável física há um operador linear e hermitiano.

• Teorema 1:os autovalores do operador hermitiano são reais.

• Teorema 2: as autofunções de um operador hermitiano são ortogonais.

3º Postulado: valores de observáveis ${\displaystyle \Longrightarrow }$ os valores possíveis a ser obtidos por medidas de uma propriedade física observável ${\displaystyle C}$, são os autovalores ${\displaystyle ci}$ da equação de autovalor ${\displaystyle {\widehat {C}}fi=cifi}$ , em que ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ é o operador que corresponde à propriedade observável ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle fi}$ são as autofunções do operador ${\displaystyle {\widehat {C}}}$.

4º Postulado: valor médio ${\displaystyle \Longrightarrow }$ Sendo ${\displaystyle \psi (x,t)}$ uma função de estado do sistema normalizada, logo o valor médio da observável ${\displaystyle C}$ no tempo é: ${\displaystyle \langle {\hat {C\rangle }}=\int \psi *{\widehat {C}}\psi dt}$ /

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

5º Postulado: evolução temporal ${\displaystyle \Longrightarrow }$ O estado de um sistema quântico não perturbado tem sua evolução temporal dada por: ${\displaystyle -{\cfrac {\hbar }{i}}{\cfrac {\partial \psi }{\partial t}}={\widehat {H}}\psi }$ /  = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Caixa unidimensional

A versão mais precisa se dá na situação idealizada de uma caixa unidimensional, na qual a partícula de massa m pode ocupar qualquer posição no intervalo [0,L]. Para encontrar os possíveis estados estacionários, é necessário aplicar a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão para o problema:

${\displaystyle -{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi (x)}{\mathrm {d} x^{2}}}=E\psi (x)}$ [1] 

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Considerando que o potencial infinito fora da caixa (regiões I e III), o que anula a função de onda, tem-se:

${\displaystyle \psi (x)={\cfrac {1}{\infty -E}}{\cfrac {\hbar ^{2}}{2m}}{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}}$ 

/ = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

${\displaystyle \psi I=\psi III=0}$ 

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

em que

${\displaystyle \hbar }$ é a Constante reduzida de Planck,

${\displaystyle m\,}$ é a massa da partícula,

${\displaystyle \psi \left(x\right)\,}$ é a função de onda estacionária independente do tempo^[1] que queremos obter (funções próprias) e

${\displaystyle E\,}$ é a energia da partícula (valor próprio).

Para o interior da caixa, região II, em que o potencial é zero, tem-se:

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} ^{2}\psi }{\mathrm {d} x^{2}}}+{\cfrac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi =0}$ 

/ = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Visando garantir o primeiro postulado da mecânica quântica, a função de onda, quando ${\displaystyle x=0}$ e ${\displaystyle x=L}$, tem que ser igual a ${\displaystyle 0}$. Obedecendo às seguintes condições de contorno:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}\psi I=\lim _{x\to 0}\psi II}$

${\displaystyle \lim _{x\to L}\psi II=\lim _{x\to L}\psi III}$ 

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

As funções próprias e valores próprios de uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional de comprimento L são:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\left({\frac {n\pi x}{L}}\right)},\qquad E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}n^{2},\qquad {\mbox{com}}\ n=1,2,3,...}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Na física, uma partícula livre é uma partícula que, em certo sentido, não está vinculada por uma força externa, ou equivalentemente não está em uma região onde sua energia potencial varia. Na física clássica, isso significa que a partícula está presente em um espaço "sem campo". Na mecânica quântica, significa uma região de potencial uniforme, geralmente modulada para zero na região de interesse, uma vez que o potencial pode ser arbitrariamente arranjado para zero em qualquer ponto (ou superfície em três dimensões) no espaço.

Descrição matemática

Partícula livre clássica

A partícula livre clássica é caracterizada simplesmente por uma velocidade fixa v. O momento linear é dado por

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ /

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

e a energia cinética, que é igual à energia total, é dada por

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$ 

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde m é a massa da partícula e v é o vetor velocidade da partícula.

Partícula livre quântica

Uma partícula livre na mecânica quântica (não relativística) é descrita pela equação de Schrödinger livre:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

onde ψ é a função de onda da partícula na posição r e tempo t. A solução para uma partícula com momento p ou vetor de onda k, na freqüência angular ω ou energia E, é dada pela onda plana complexa:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$ /

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

com amplitude A. Como para todas as partículas quânticas livres ou ligadas, o princípio da incerteza de Heisenberg

${\displaystyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq \hbar }$ 

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

(da mesma forma para as direções y e z) e as relações De Broglie:^[1]:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} ,\quad E=\hbar \omega }$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

se aplicam. Como a energia potencial é adotada como zero, a energia total E é igual à energia cinética, que tem a mesma forma da física clássica:

${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Há várias equações que descrevem partículas relativísticas: veja equações de onda relativísticas.^[2][3][4][

As partículas idênticas são partículas que não podem ser distinguidas entre si, inclusive em princípio. Tanto as partículas elementares como partículas compostas (como prótons ou átomos) são idênticas a outras partículas de sua mesma espécie.

Em física clássica, é possível distinguir partículas individuais em um sistema, inclusive se têm as mesmas propriedades mecânicas. Tanto se pode "etiquetar" ou "pintar" cada partícula para distinguí-la das demais, ou tanto se pode seguir com detalhe suas trajetórias. Entretanto, isto não é possível para partículas idênticas em mecânica quântica. As partículas quânticas estão especificadas exatamente por seus estados mecânico-quânticos, de forma que não é possível assinalar-se propriedades físicas ou "etiquetas" adicionais, além de um nível formal. Seguir a trajetória de cada partícula também é impossível, já que sua posição e seu momento não estão definidas com exatidão simultaneamente em nenhum momento (conforme o princípio da incerteza de Heisenberg).

Isso tem consequências importantes em mecânica estatística. Os cálculos em mecânica estatística baseiam-se em argumentos probabilísticos, que são sensíveis se os objetos estudados são idênticos ou não. Assim sendo, as partículas idênticas exibem um comportamento estatístico "massivo" marcadamente distinto daquele das partículas clássicas (distinguíveis).

Partículas idênticas e energia de intercâmbio

É possível elucidar estas afirmações com um pouco de detalhe técnico. A "identidade" das partículas está ligada à simetria dos estados mecanico-quânticos devido ao intercâmbio de etiquetas das partículas. Isto dá lugar a dois tipos de partículas, que se comportam de forma diferente, chamadas férmions e bósons. (Há também um terceiro tipo, anyons e sua generalização, pléktons).

Se considerarmos um sistema com duas partículas idênticas, pode-se supor que o vetor de estado de uma partícula é |ψ>, e o vetor de estado da outra partícula é |ψ′>. Pode-se representar o estado do sistema combinado, que é uma combinação não especificada dos estados de uma partícula, como:

${\displaystyle |\psi \psi ^{\prime }\rangle }$./

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Se as partículas são idênticas, então: (i) seus vetores de estados ocupam espaços de Hilbert matematicamente idênticos; e (ii) |ψψ′> e |ψ′ ψ> terão a mesma probabilidade de colapsar a qualquer outro estado multipartícula |φ>:

${\displaystyle |\langle \phi |\psi \psi ^{\prime }\rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi ^{\prime }\psi \rangle |^{2}}$

/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Esta propriedade se chama simetría de intercâmbio. Uma forma de satisfazer essa simetría é que a permutação só induza uma fase:

${\displaystyle |\psi \psi ^{\prime }\rangle =e^{i\alpha }|\psi ^{\prime }\psi \rangle }$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

Sem dúvida, duas permutações conduzirão à identidade (visto que as etiquetas voltarão a suas posições originais), donde se requer que e^2iα = 1. Então, ou

${\displaystyle |\psi \psi ^{\prime }\rangle =+|\psi ^{\prime }\psi \rangle }$/

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

que se chama um estado totalmente simétrico, ou

${\displaystyle |\psi \psi ^{\prime }\rangle =-|\psi ^{\prime }\psi \rangle }$ /

 = [          ] ω  , ,  / T]  c [    [x,t] ]  = 

que se chama estado totalmente antisimétrico.